ΘΕΜΑ Α

Α1.
Έστω μία συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $Δ$. Να αποδείξετε ότι αν $f'(x) > 0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$, τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $Δ$.

Α2.
Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Α3.
Πότε δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ λέγονται ίσες;

Α4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

1.   Ισχύει   $|ημx| < |x|$   για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ .


2.   Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $Α$ ισχύει ότι   $f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x$   για κάθε $x \in A$ .


3.   Αν $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) > 0$   , τότε   $f(x) > 0$   κοντά στο $x_0$ .


4.   Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $Δ$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $Δ$. Αν $f''(x) > 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $Δ$.


5.   Αν η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α,β]$, τότε η $f$ παίρνει στο $[α,β]$ μία μέγιστη τιμή, $Μ$ και μια ελάχιστη τιμή, $m$ .

---